Euler–Cauchy Equation

释义 Definition

欧拉–柯西方程（Euler–Cauchy equation）：一类常见的常微分方程，其各项系数通常是自变量 \(x\) 的幂（如 \(x^2, x, 1\) 等），典型形式为
\[ x^2 y'' + a x y' + b y = 0 \] （也常见更高阶形式）。它的一个重要特点是可以尝试令解为幂函数 \(y=x^m\)，或用变量替换 \(x=e^t\)（即 \(t=\ln x\)）把方程化为常系数微分方程来求解。该方程也常被称为 equidimensional equation（等维方程）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɔɪlər ˈkaʊʃi ɪˈkweɪʒən/

例句 Examples

Solve the Euler–Cauchy equation \(x^2 y'' - 3x y' + 4y = 0\).
求解欧拉–柯西方程 \(x^2 y'' - 3x y' + 4y = 0\)。

By setting \(t=\ln x\), an Euler–Cauchy equation can be transformed into a constant-coefficient differential equation, which often makes the solution process more systematic.
令 \(t=\ln x\) 后，欧拉–柯西方程可化为常系数微分方程，从而使求解过程更系统、更规范。

词源 Etymology

该名称来自两位对微积分与微分方程发展影响深远的数学家：Leonhard Euler（欧拉）与 Augustin-Louis Cauchy（柯西）。这种方程形式在经典微分方程理论中经常出现，因此常以两人姓氏并称；在一些教材里也写作 Cauchy–Euler equation 或称 equidimensional（等维），强调其“各项在尺度变化下同阶”的结构特征。

相关词 Related Words

• Equidimensional Equation
• Ordinary Differential Equation
• Homogeneous Equation
• Nonhomogeneous Equation
• Characteristic Equation
• Indicial Equation
• Change of Variables
• Frobenius Method
• Power Function
• Linear Differential Equation

文学与经典著作 Literary Works

• Differential Equations with Applications and Historical Notes（George F. Simmons）：在常微分方程章节中系统讲解并给出典型例题。
• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems（Boyce & DiPrima）：作为标准教材，常以“Cauchy–Euler / Euler–Cauchy”专节出现。
• A First Course in Differential Equations with Modeling Applications（Dennis G. Zill）：以建模与求解方法为主线介绍该类方程。
• Differential Equations（Tenenbaum & Pollard）：经典入门书中包含等维方程（Euler–Cauchy）的求解套路与练习。